博雅小学堂
给孩子受益终生的人文底色
文 | 汪诘
文津图书奖得主
科普电影导演
博雅《给孩子的科技周刊》主讲人
“数学，很多人都将它视为‘一生之敌’，又为什么有人痴迷一生？”
最近关于“数学少女”姜萍的新闻很多，汪诘老师想以此为引线，和孩子谈谈，数学为什么值得热爱。
人生最大的遗憾，莫过于在不理解的情况下，就选择了痛恨。
希望这篇文章帮更多孩子摆脱对数学的刻板理解，感受到数学的光。
01
17岁“数学少女”姜萍
不止天赋，更靠努力
最近关于“数学少女”姜萍的新闻很多啊，我也想和大家聊一聊这个话题。
先来介绍一下这个新闻。就在前几天，6月13号的时候，2024年度的阿里巴巴全球数学竞赛公布了决赛名单，其中有801人成功晋级。本来这不是一个特别的新闻，毕竟这个竞赛从2018年就开始举办了，这已经是第6年了，我相信绝大多数的人在此之前根本没有听过这个数学竞赛。
这一次之所以破圈了，还是因为一位17岁的女生——姜萍，她的初赛成绩是全球第12名。你要知道，这个竞赛可是和数学奥赛不一样，参加的基本上都是同龄人。这个阿里数赛可是不限年龄、不限身份的，其中不乏清华、北大、牛津、MIT等等世界知名院校里的研究生、博士生，甚至是一些学校里的数学老师。
而和这些身份参赛者相比，姜萍特别就不只是她的年龄了，还有她的身份。她是江苏省涟水中等专业学校服装设计专业的一名中专生。
这件事就更了不起了。因为在大多数的眼中，只有中考没考上高中的人才会去中专。而且在中专没有了高考的压力，大多数人就没有足够的动力去学习文化课了，尤其是以难著称的数学课。
而姜萍却可以仅凭着对数学的热爱，持续地学习数学，超越了绝大多数的同龄人。其实不只是同龄人了，我看了一下这次的竞赛题，我敢说包括我在内的绝大多数的成年人也是不如她的。
可能有同学好奇，这个比赛的题目到底是怎样的。我举一个今年的真题大家感受一下，这是这套题里的第一题也是最简单的一道题，是唯一一个我看答案可以看懂的题。感兴趣的同学可以挑战一下。相信我们的听众中是有卧虎藏龙的小数学家的。题目是这样的：
几位同学假期组成一个小组去某市旅游，该市有6座塔，它们的位置分别为A, B, C, D, E,F。同学们自由行动一段时间后，每位同学都发现，自己在所在的位置只能看到位于A, B, C,D 处的四座塔，而看不到位于E和F的塔。
己知：
（1）同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点，且这些点彼此不重合；
（2） A, B, C, D, E, F中任意3点不共线；
（3）看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所阻挡，例如，如果某位同学所在的位置P和A，B共线，且A在线段PB上，那么该同学就看不到位于B处的塔。
请问，这个旅游小组最多可能有多少名同学？
4个选项：（A） 3 （B） 4 （C） 6 （D） 12
讲到这里，我想大家应该可以体会到了，姜萍的这个12名还是真的很有含金量的。
能做到这一点，姜萍同学有天赋，这肯定是毋庸置疑的。但是，只靠着天赋是肯定做不到这一点的。其中涉及到的数学知识非常困难，她差不多都需要自学搞定，学习材料又不多，而且还需要去阅读英文原版教材。
这是数学本身的困难。她还需要克服很多诱惑，周围的同学打游戏，刷剧，叫她一起，她都需要拒绝，相反还要在吃饭睡觉的空档去思考刚才那道数学题应该怎么解决。
02
为什么有人如此痴迷？
究竟什么是数学？
我想对于绝大多数的人来说，这是非常奇怪的一件事。数学，一个很多人都将它视为“一生之敌”的学科，为什么会有人如此痴迷呢？他们是自虐狂吗？
对数学的热爱，姜萍并不是个例。古希腊的阿基米德，在罗马士兵已经杀进城了，他还让那些凶狠的士兵让开，别踩到地上他正在做的几何题。
提出费马大定理的费马，他的本职工作是律师，在繁忙的工作之余，他最爱做的就是做做数学题换换脑子，休息一下。比费马稍晚一点；在地球另一边，管理一个帝国的康熙，也喜欢在忙完了之后做做几何题。还有18世纪的欧拉，在晚年失明之后，即便是看不见了也要靠着口述持续做着数学研究。
还有在前些年，因为对孪生素数猜想做出重大贡献的张益唐，能够在忍受将近20年的默默无闻，就是为了做自己喜欢的数学研究。
这还只是我马上就可以想到的一些人，如果加上我暂时想不来的，我所不知道的人，那热爱数学的人绝对不是一个小数目。
能让这么多人如此的热爱，数学一定有着它独特的魅力。这个魅力是什么呢？
那就需要先要明白，数学到底是什么。
数学可以说大家一点也不陌生了，很小的时候就会掰着手指数数了。上了小学，还会学四则运算，记乘法口诀。在这个阶段，大多数人对数学的印象，就是一个更方便的计数工具。与其说这个阶段的数学费脑子，不如说更考验反应力和记忆力。只要是反映快、对乘法口诀记得牢，再加上一点点细心，那么考试就会考个好成绩。
但如果数学仅仅就是这样的话，那它其实是没有那么大魅力的，可能会让人喜欢，但是也就是能达到做做数独题的程度，很难让人发自内心的热爱。
如果把这部分看作是对数学第一阶段的理解的话，那么到了第二阶段就会好一些。
在第二阶段，数学就不再等同于算术了。比如，这个时候，同学们就应该开始接触到几何了。几何里的点是无穷小的，一条线是由无穷个点组成，没有宽度，过两个点只能画一条直线，等等等等。这些，如果较真儿的话，它们在现实生活中都是不存在的。不论你用多细的笔画点、画线，只要用放大镜去看，都可以看到它们的宽度。
所以在这个阶段开始，数学就慢慢显露出它的大特点了，它来源于生活中的方方面面，但是又高于生活中的方方面面。它需要我们依靠一些想象力，一些抽象的思考能力，才可以在思维中想象出来。
这个时候，也就开始出现应用题了，因为数学来自生活又高于生活的特点，就不只是考验你对数学知识的记忆是不是准确了，还在考验你如何把高于生活的数学知识，反过来应用到现实生活中。如果用更专业的说法，这其实就属于数学建模了。
如果把数学里学到的知识比作是乐高积木块，乐高积木块可以搭建出各种不同的形状。做应用题，其实就是考验你，用数学这个积木搭建出来的模型，是不是和现实中的问题一致，如果一致的话，那么从数学积木中能得出的答案，就是现实问题的答案了。
如果是在第二个阶段的话，数学会是一个很方便的工具，可以帮助人们去解决很多现实问题。但是，如果数学的价值就是为了解决现实问题，就是一种工具，那么数学可能会很重要，却也很难具有那种让人欲罢不能的魅力。
想想看，螺丝刀是一个好工具，可以解决很多问题，但是你会喜欢研究螺丝刀吗？相反，乐高积木，虽然实用性不如螺丝刀，但是用乐高可以自由、无限地进行创造，这样的魅力才会让许多人对此欲罢不能。
对数学理解的第三个阶段也是类似。数学里的公式有很多，这就相当于积木里的积木块有很多。数学家们会进行总结，把那些数学公式积木块分成两类，一类是可以通过其他积木块组合出来，一类是没办法被其他积木块组合而来。如果用专业的词来说，那一类无法被其他积木块组合而来的数学公式叫做公理，那些可以通过其他积木块组合而来的数学公式叫做定理，定理一定是可以通过公里以及其他定理证明出来的。
进行了这样的总结分离后，数学就像是一个由公理基础积木块拼接而成的虚拟世界了。你做数学题，证明了一道很难的数学题，其中的快乐不亚于你用乐高积木拼出来了一个美丽的城堡。
乐高有一种高级玩法，叫做moc，也就是说，拼积木不是按照给定的图纸去拼，而是凭借这自己对积木的理解，自由的搭建出别人从来没有搭建出的，只属于自己的模型。这个在数学领域里面也一样，而且能做到这一点的往往都是真正的数学家，他们可以根据最基础的公理，去证明出其他人从来没有证明过的定理。像是前面提到的张益唐，就属于这样的高手。
虽然我做了这样的类比，但是数学比起乐高积木来说，自由度更高，难度更大，让人获得的成就感也要大得多。如果你非常喜欢乐高积木的拼搭，那么把你的喜爱乘以100倍、1000倍，应该就是前面提到的那些人对数学的热爱程度了。
其实到了第三阶段还不够，因为在这个阶段，数学家和数学爱好者们，还是在已有的基础积木块上进行搭建。到了第四阶段，数学家就已经开始尝试改造基础积木块的样子了。如果说，在第三阶段是数学家们努力用数学去丰富整个数学世界，那么第四阶段就是在创造新的数学，在创造一个一个的平行世界。
像是大名鼎鼎的黎曼几何，就是修改了平行线有关的积木块，导致黎曼几何对空间的想象不是一个平面，而是一个球面。这部分内容就不过多介绍了。
不过，我想同学应该能体会到这个阶段说能带来的成就感了，在这个阶段，数学的魅力来自于对平行世界的创造。
我想大家应该能够感觉出来，从第一阶段到第四阶段，数学的直接价值是越来越小的，现在很多数学领域的突破，人们压根在实际生活中就看不到它有什么用。但是，从第一阶段到第四阶段，又是一个难度快速增加，挑战快速升级的过程。
对数学的热情越是纯粹，越是乐意迎接这些挑战。也只有纯粹的热爱，才有足够的动力去驱动人们一次一次去挑战这些难关。
就像记者问英国登山家乔治·马洛里“为什么要登山”，他所回答的那样，“因为山就在那里”。
推动数学进步的，永远是对数学最纯粹的热爱，因此而获得的荣誉和利益反而这种热爱之后留下来的副产品。
我羡慕姜萍。我作为一名科普作者，我读过无数的数学家、科学家的故事，他们无一不在对我诉说，来吧，快来吧，这里有人类文明里最重要的宝藏。姜萍已经扬帆起航了，我虽然一次次的去码头眺望，但是始终没能像她一样先踏上远洋船只的甲板。
我希望现在听我讲的同学们，你们能比我更有勇气，早点踏上那艘驶向数学的远航的船。也期待着你们见到了远处的风景之后，还可以给我来一封信，让我也能一起分享你们的快乐。
从“只会学习”到“爱上学习”
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