来，跟清华冲刺班老师，用小学思维破高考压轴题

博雅小学堂
给孩子受益终生的人文底色
文丨陈硕
清华本硕、清北冲刺班老师
曾从四川小镇普通班逆袭上清华
孙维刚研究院小学教研负责人
很有意思的是，今年高考数学结束后，网上有两种声音：
一种说，高考数学的压轴题难出天际，完全不晓得“可分数列”是啥东西。
另一种说，今年压轴题不难，甚至前面的小问题还是送分题！
为啥会这样分裂呢？一句话，就看孩子的数学思维基础有没有打好。
基础打得好，这道高考题用的就是小学思维！那自然就是送分了。
今天，推荐大家跟着清华本硕、清北冲刺班陈硕老师，顺着小学思维，解解这道高考压轴题。友情提示，小学的思维本质很简单，但过程还是要烧脑。做好准备，压轴题3个小问题，开始一个个通关吧。
大家好，我是陈硕老师。
24年高考数学刚结束，试卷一出来，袁斌老师就说压轴题超级难，考场上做出来的都是神仙。不过，我用小学思维课的方法、加一点点奥数知识，就能一步步解答出来。
正因如此，每个中小学生都要去挑战一下这道压轴题，对思维的培养颇有价值。
Part1：初步试探、感受难度

这个题目，小初阶段的同学，乍一看、肯定就被吓坏了！
但不要着急，这个题目明显是个新定义问题，这类题目，核心是考察同学们快速学习、快速研究的能力。
题目中给出了一个定义：可分数列。关于“可分数列”，题目的说法非常抽象，于是，第一个困难，就是搞懂它到底是什么意思。
Part2：具体化假设、熟悉问题
在小学思维课中，当遇到太抽象、未知太多时，具体化试探是能帮我们理解题目、打开思考的有效策略。
什么叫具体化试探？其实很简单，就是找到一个最基本、最简化的符合题目条件的例子。
来读一读第1问，a1到a6是等差数列，去找符合新定义的(i，j)。
还是很抽象，那就具体化、找一个例子！同学们，最简单的6位等差数列，你们觉得是什么？
注明：等差数列，是说这个数列里，连续2个数的差是相等的。例如，数列(1、2、3、4、5……)就是公差为1的等差数列。
自然，大多数同学都能想到，是1、2、3、4、5、6。
再回去看题目，新定义(i，j)，说的是拿走对应位置的两项后，剩下的4项还是等差数列。这时候就很简单嘛，枚举就好了！显然，剩下的4项是等差数列，只有如下3种情况：

于是，符合新定义“可分数列的”的是(5，6)位置、(1，6)位置、(1，2)位置。
当然，肯定还会有同学想，是不是有其他情况？同学们可以试一试。还有更严谨的同学继续想，如果等差数列不是1、2、3、4、5、6呢？情况完全相同，可以尝试一下！
Part3：规模太大、简化还原
为了让小初的同学，更容易理解题意、深入思考，我把题目改编一下。
有一个数列，1、2、3、4、5、6…，这个数列最后一个数字是4的倍数加上2(记作4m+2，m为正整数。比如6、10、14、18、22等等)。
从这个数列里拿掉2个数字，显然，剩下数列的个数刚好是4的倍数；如果把剩下的数列，分成每4个一组，每一组都是等差数列，则这个数列被这两个数字转化为“可分数列”。
第1问，写出所有的2个数字，能够把1、2、3、4、5、6，转化为“可分数列”的情况
第2问，如果这个数列，最后一位大于等于14(也就是m>=3)，证明：2和13这两个数字，能够把这个数列转化为“可分数列”
第3问，对于这个数列，随便选择两个数字，证明：这两个数字能够把这个数列转化为“可分数列”的概率，大于1/8
第1问，前面已经枚举出来了。OK，对于改编后的题目，我们来继续研究第2问。
最后一位大于等于14，那最后一位可以是14、18、22、26…，这个数列有无数种情况呀，根本不可能枚举出来！而在小学思维课中，我们讲过，遇到规模太大、情况迭代无穷多种的时候，要找到最基本的情形，还原过程、寻找规律。
那我们就来研究，最基本的情况，也就是最后一位是14的时候好了！把2和13拿出来，此时剩下的数列是：
1、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、14。
回到问题，要证明的任务就变成了，把这12个数字，分成3组(4个一组)，每一组都是等差数列。
同学们，可以自己试着完成上面的任务。等你准备好了，我们往下翻、查看答案吧！
……
……
从相差为1、2、3，分别进行试探。
发现，差为3时，刚好可以分解为3组等差数列：(1、4、7、10)，(3、6、9、12)，(5、8、11、14)。
任务完成！
下一步，如果最后一位是18呢？也就是增加了15、16、17、18这四项。那还是把2和13拿出来，此时剩下的数列是：1、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18。
如何把这个数列，分成4组(4个一组)，每组还是等差数列？
聪明的同学肯定发现了，新增加的4项，本身就是一个等差数列(15、16、17、18)，而原先的12项，已经被分成3组等差数列。
所以，它们肯定可以分为4组等差数列嘛！
到这里，我们基本找到了解决第2问的规律了：只要将1~14去掉2和13之后，分为3组，后面的连续4个数的一组，即可完成任务！
第2问，得证！
Part4：启发探索，解决压轴问
来吧，我们挑战最后一问！
对于这个数列，随便选择两个数字，证明：这两个数字能够把这个数列转化为“可分数列”的概率，大于1/8
求概率，小学数学里并不要求，奥数里学过这个知识，我补充给同学们：
概率=符合条件的情况/总情况
总情况很好算，从题目知道，一共是4m+2个数字，选择两个：
总情况=(4m+2)(4m+1)/2=(2m+1)(4m+1)
那关键就在于，有哪些情况，符合“可分数列”这个条件了。
还是很困难！但是从第2问，我们就知道，对情况很多、规模很大的问题，要学会简化试探、还原过程、寻找规律。
那我们就从最简单的情况，开始研究起来！
当m=1时，最后一位是6，已经讨论过了，有3种情况。

当m=2时，最后一位是10，完整数列为：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
分类1
从第2问的拓展逻辑中，我们知道，可以让新增加的4项为一组，就符合条件。

再仔细看看上图，不知道同学们能否发现，这个图并不对称。而如果1和2符合条件的话，9和10一定也符合条件！
那意味着，最后所有的情况，画出图形的话，一定是对称的(我们把这个叫做，数学的广义对称思想)。
所以，一定还有更多的情况！
深入研究发现，2个连续的组块(红和绿)会占据8个数，相当于在问剩下的2个数，放在这两个组块的左边、还是中间、还是右边。
若第一个数放在左边，第二个数还可以放在左、中、右，3种选择；
若第一个数放在中间，第二个数还可以放在中、右(放左会重复)，2种选择；
若第一个数放在右边，第二个数只能放在右，1种选择；
于是有3+2+1=6种选择。
我们验证一下：左左→1、2，左中→1、6，左右→1、10，中中→5、6，中右→5、10，右右→9、10。
的确如此，猜想正确。
分类2
根据第2问的启发，当m=2时，这两个组块，除了连续以外，还可以间隔排列，我们简单试试：
若像这样穿插，8个数还是连着的，拿掉的数字是1和10，和上面分类1的一种情况重合了。
但如果让红色和绿色两组，错开一些，唯一的可能性，就是让第一个绿块往后一，此时需要拿掉的数就是2和9，就唯一确定了，只能是第2个、倒数第2个数。
此时，增加了1种情况(相互间隔为1)。
那红色和绿色，还可以更错开一些么？可行么？当然不可以！因为10个数字，拿掉2个，只剩2组了，不可能错开更多了(会同时出现连续和间隔的情况，那就一定不是可分数列了)。
m=3时，有了上面的讨论，我们知道了，可以用间隔来分类。
间隔0(连续4个一组)
可分为3组，拿掉的2个数，有4个位置可放，总情况数为：4+3+2+1=10种
间隔1
一共有三种颜色组块，不可能都是间隔1，只能是两组间隔1互相穿插在一起(不重复的话，刚好是上面10个的模块)，此时剩下的1组必须4个数连续。
相当于问，10个连续数列和4个连续数列，有几种排列方式。当然只有两种：10前、4后；4前，10后。
聪明的同学是否发现，这里面包含了10个连续数字的数列(间隔1，含要拿掉的2个数字)，加上4个连续数字的数列(间隔0)。
间隔2
前面第2问也讨论过了，而且试探后不难发现，3种颜色的组块只有一种错开方式(且不与前面讨论过的重复)：
惊奇的发现，还是拿掉第2个、倒数第2个。有点意思，此时14个数字的数列，间隔2的情况，只有这1种。
我们把它看做一个整体的话，是不是到18个数字的数列的时候，这个14个数字作为一组，大有所用呢？
其实，把前一种情况看做一个整体，这就是我们思维课里讨论的，封装的思想。
拓展到m为任何数，这个时候，我们要应用前面的规律，不同间隔的情况基本都找到了。
间隔0(连续4个一组)
可分为m组，要拿掉的2个数有m+1个地方可以选，那总情况数为：(m+1)+m+…+1=(1+m+1)(m+1)/2=(m+1)(m+2)/2种。
间隔1
需要用到连续10个数字的数列为整体模块，以及剩下的(m-2)个连续4个数字的模块。
而这个10的模块，可以插入任何一个空里，有(m-1)种情况。
间隔2
需要用到一个连续14个数字的模块(2个拿掉的数，也在这个模块里，且情况唯一)。根据前面的规则，此时可插入的空有(m-3)个，对应(m-2)种情况。
间隔3
需要用到一个18的模块，可插入的空有(m-4)个，对应(m-3)种情况。
间隔4
需要22的模块，可插入的空有(m-5)个，对应(m-4)种情况。
……
直到最后的情况，所有的数列形成一个新的模块，只有1种情况(拿掉第2个、倒数第2个数字)。
因此，上面间隔为1、间隔为2、间隔为3……的所有的情况数为：
(m-1)+(m-2)+……+1=(1+m-1)(m-1)/2=m(m-1)/2
于是，所有的情况总数为：
(m+1)(m+2)/2+m(m-1)/2=m^2+m+1
因此，可分数列的概率为：
得证！撒花完结！
觉得难吗？上面除了最后一步用到一些高中的放缩技巧，里面几乎所有知识、策略都在奥数或我们小学思维课上有讨论！
可能有些同学会说，这和原题是不是不一样？
聪明的同学肯定发现了，用1、2、3、4、5……这样的数列，只是便于大家理解，任何等差数列(公差不是0)的情况，都可以用上述证明逻辑，推理得证！
在研究院的小学思维课，我经常带着同学们探讨这类问题，就是让同学们知道，再复杂的难题，都有数学方法、数学思想去处理。
而见多了难题、复杂题目的同学，就不会有畏难情绪，愿意去挑战和思考难题，久而久之，他的思维能力、思维深度、思想方法，会得到充足的培养和锻炼。
这对未来初高中的数学学习，有重要的帮助。
孙维刚小学数学思维系统课第1期
《生活中的数学》来了
从生活中的趣味数学入手
推理背后的数学思维模型
运用数学思维解决复杂问题
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-主讲人-
陈硕老师

-往期家长反馈-

-适合对象-
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