之前说到，即使选取规范 h_{\alpha \beta}=\eta_{\alpha \beta} 之后，玻色弦依旧有残留的微分同胚对称性，包括所有的共形变换。因此，依旧有可能继续选取规范。通过作一个不协变的规范选取，有可能描述一个显然不存在范数为负的态的Fock空间，并且明确解出所有的Virasoro条件，而不是当成限制来施加它们。
我们引入时空的光锥坐标[1]
X^{\pm}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(X^{0} \pm X^{D-1}\right) \quad \quad (2.123)
于是 D 维时空坐标 X^\mu 包含类光坐标 X^{\pm} 和 D-2 个横向坐标 X^i 。采用这种记号，任意两向量的内积具有以下形式
v \cdot w=v_{\mu} w^{\mu}=-v^{+} w^{-}-v^{-} w^{+}+\sum_{i} v^{i} w^{i}\quad \quad (2.124)
指标升降的规则是
v^{-}=-v_{+}, \quad v^{+}=-v_{-}, \quad v^{i}=v_{i}\quad \quad (2.125)
因为两个坐标的处理方式与其它不同，使用光锥坐标时Lorentz不变性不再显然。
利用残留的规范对称性，能进行怎样的简化？用 \sigma^\pm 来表示，残留的对称性对应 (2.86) 中每一个类光世界面坐标的重参数化
\sigma^{\pm} \rightarrow \xi^{\pm}\left(\sigma^{\pm}\right)\quad \quad (2.126)
这些变换对应
\begin{aligned} &\widetilde{\tau}=\frac{1}{2}\left[\xi^{+}\left(\sigma^{+}\right)+\xi^{-}\left(\sigma^{-}\right)\right]\quad \quad (2.127)\\ &\widetilde{\sigma}=\frac{1}{2}\left[\xi^{+}\left(\sigma^{+}\right)-\xi^{-}\left(\sigma^{-}\right)\right]\quad \quad (2.128) \end{aligned}
这意味着 \widetilde{\tau} 可以是自由无质量波动方程的任意一个解：
\left(\frac{\partial^{2}}{\partial \sigma^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial \tau^{2}}\right) \widetilde{\tau}=0\quad \quad (2.129)
一旦 \widetilde{\tau} 被确定了， \widetilde{\sigma} 就在可以差一个常数的意义下被确定了。
在规范 h_{\alpha \beta}=\eta_{\alpha \beta} 下，时空坐标 X^{\mu}(\sigma, \tau) 也满足二维波动方程。光锥规范利用上面描述的残留自由度作出选择：
X^{+}(\widetilde{\sigma}, \widetilde{\tau})=x^{+}+l_{\mathrm{s}}^{2} p^{+} \widetilde{\tau}\quad \quad (2.130)
[波动方程的解 \tilde{\tau} 乘上一常数，再加上一常数，得到的 X^+ 自然还是波动方程的解]
这对应设定
\alpha_{n}^{+}=0, \quad \quad n \neq 0\quad \quad (2.131)
接下来省略参数 \widetilde{\tau}, \ \widetilde{\sigma} 上的波浪线。
选取这个不协变的规范时，要小心量子反常可能导致Lorentz不变性被破坏。因此这需要被检查。事实上，共形不变性对于这一规范选取相当关键，所以光锥规范方法中的Lorentz反常，对应明显保持Lorentz不变的协变规范中的共形反常。
光锥规范消除了 X^+ 的振荡模式。通过解Virasoro条件 \left(\dot{X} \pm X^{\prime}\right)^{2}=0 ，也可以确定 X^- 的振荡模式。
[由 (2.27) ，能动张量为零意味着 \dot{X} \cdot X^{\prime} =\dot{X}^{2}+X^{\prime 2}=0 ，这等价于 \left(\dot{X} \pm X^{\prime}\right)^{2}=0 ]
在光锥规范下，这些限制成为
\dot{X}^{-} \pm X^{-\prime}=\frac{1}{2 p^{+} l_{\mathrm{s}}^{2}}\left(\dot{X}^{i} \pm X^{i \prime}\right)^{2}\quad \quad (2.132)
这一方程可以被用来解出以 X^i 表示的 X^- 。用 X^- 的模式展开来表示，对开弦有
X^{-}=x^{-}+l_{\mathrm{s}}^{2} p^{-} \tau+i l_{\mathrm{s}} \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \alpha_{n}^{-} e^{-i n \tau} \cos n \sigma\quad \quad (2.133)
解是
\alpha_{n}^{-}=\frac{1}{p^{+} l_{\mathrm{s}}}\left(\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{D-2} \sum_{m=-\iNFTy}^{+\infty}: \alpha_{n-m}^{i} \alpha_{m}^{i}:-a \delta_{n, 0}\right)\quad \quad (2.134)
因此，在光锥规范下，可以消去 X^+,\ X^- （除了它们的零模），完全用横向振荡模式表述理论。一个临界的弦只有横向激发，就像一个无质量的粒子只有横向偏振态。 (2.130) 中光锥规范的特点在于，它将Virasoro条件转换成关于 X^- 模式的线性方程。
质壳条件
在光锥规范下，开弦质壳条件是
M^{2}=-p_{\mu} p^{\mu}=2 p^{+} p^{-}-\sum_{i=1}^{D-2} p_{i}^{2}=2(N-a) / l_{\mathrm{s}}^{2}\quad \quad (2.135)
其中
N=\sum_{i=1}^{D-2} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{-n}^{i} \alpha_{n}^{i}\quad \quad (2.136)
[ (2.134) 令 n=0 ，由 \alpha_0^\mu=l_\mathrm{s}p^\mu 即可得到 (2.135) ]
现在，我们在光锥规范下构造玻色弦的物理谱。
在光锥规范下，所有的激发通过作用横向模式 \alpha_{n}^{i} 生成。第一激发态，由 \alpha_{-1}^{i}|0 ; p\rangle 给出，属于横向空间旋转群 SO(D-2) 的一个 D-2 个分量的向量表示。作为一般规则，Lorentz不变性意味着有质量物理态形成了 SO(D-1) 的表示，无质量物理态形成了 SO(D-2) 的表示。因此，只有向量态 \alpha_{-1}^{i}|0 ; p\rangle 无质量，光锥规范下的玻色弦论才可能是Lorentz不变的。这立刻给出 a=1 。
[应用对易关系，可以得到 N\alpha_{-1}^{i}|0 ; p\rangle=\alpha_{-1}^{i}|0 ; p\rangle ，因此 M^2=2(1-a)/l_{\mathrm{s}}^{2}=0 ，从而 a=1 ]
确定了 a 的取值之后，下一步就是确定时空维数 D 。一个启发式的方法是，直接计算 L_0 定义中的正规顺序常数。这一常数可以由以下等式确定：
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{D-2} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \alpha_{-n}^{i} \alpha_{n}^{i}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{D-2} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}: \alpha_{-n}^{i} \alpha_{n}^{i}:+\frac{1}{2}(D-2) \sum_{n=1}^{\infty} n\quad \quad (2.137)
右边的第二项求和是发散的，需要作正规化。可以用 \zeta -函数来作。首先考虑一般的求和
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}\quad \quad (2.138)
对任意复数 s 有定义。对 \operatorname{Re}(s)>1 ，这一求和收敛到Riemann zeta函数 \zeta(s) 。到 s=-1 ，这一zeta函数有唯一的解析延拓，取值 \zeta(-1)=-1 / 12 。因此，将 \zeta(-1) 的值插入到 (2.137) 中，可以得到附加项是
\frac{1}{2}(D-2) \sum_{n=1}^{\infty} n=-\frac{D-2}{24}\quad \quad (2.139)
用先前的结果，也就是正规顺序常数 a=1 ，得到
\frac{D-2}{24}=1\quad \quad (2.140)
这给出 D=26 。虽然不是很严格，但这是确定 a,\ D 取值的最快方法。之前对于“没有范数为负的态定理”的分析也给出 D=26 。另一个方法是验证Lorentz生成元满足Lorentz代数，在光锥规范下这不是显然的。非平凡的要求是
\left[J^{i-}, J^{j-}\right]=0\quad \quad (2.141)
一旦 \alpha_{n}^{-} 振荡模式被消去， J^{i-} 正比于横向振荡模式的立方。代数相当复杂，但结果是只有 a=1,\ D=26 时对易子为零。下一章将给出临界维数的其他推导方式。
谱分析
确定了 a=1,\ D=26 ，现在可以确定玻色弦的谱了。
开弦
开弦的质量最小的几个物理态是：
N=0 时，有一个快子 |0 ; k\rangle ，它的质量由 \alpha^{\prime} M^{2}=-1 给出。
N=1 时，有一个向量玻色子 \alpha_{-1}^{i}|0 ; k\rangle 。上节已经解释过，Lorentz不变性要求它是无质量的。这个态给出 SO(24) 的向量表示。
N=2 给出了第一族质量的平方为正的态。它们是
\alpha_{-2}^{i}|0 ; k\rangle \quad \quad \alpha_{-1}^{i} \alpha_{-1}^{j}|0 ; k\rangle\quad \quad (2.142)
满足 \alpha^{\prime} M^{2}=1 。这分别给出 24 和 24\cdot 25/2 个态。
[因为 \alpha_{-1}^{i},\ \alpha_{-1}^{j} 对易，它们构造出的态的数目等于 24 维对称矩阵独立项的个数]
态的总数是 324 ，这是 SO(25) 的对称无迹二阶张量表示的维数，因为 25\cdot 26/2-1=324 。因此，在这个意义上，谱的这个质量等级上包含一个有质量自旋2的态。
所有这些态范数为正，因为它们完全是由横向模式生成的，它们描述正定的Hilbert空间。在光锥规范下，范数为负的态解耦是显然的。所有的有质量表示可以重组在 SO(25) 多重态中，上面已经讨论了质量最小的那个态。谱的Lorentz不变性是被保证的，因为在横向振荡模式的Hilbert空间中实现了Lorentz代数。
态的数目
给定质量的物理态总数很容易计算。例如，对开弦，从 (2.135),\ (2.136) 以及 a=1 ，我们可以知道，质量由 \alpha^{\prime} M^{2}=n-1 给出的物理态的数目 d_n ，是
\operatorname{tr} w^{N}=\prod_{n=1}^{\infty} \prod_{i=1}^{24} \operatorname{tr} w^{\alpha_{-n}^{i} \alpha_{n}^{i}}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-w^{n}\right)^{-24}\quad \quad (2.143)
幂级数展开中 w^{n} 的系数。
[这里求迹是遍历Fock空间态，如果用 N 的本征值标记不同类型的态，那么自然有
\mathrm{tr}\ w^N=\sum_{n=0}^\infty d_nw^n
假设只有一种产生算符 \alpha_{-1} ，每次作用为 N 贡献 1 ，那么对应每一 N 本征值都只有 1 种态，它对级数的贡献自然是
1+w+w^2+\ldots=(1-w)^{-1}
假设只有一种产生算符 \alpha_{-2} ，每次作用为 N 贡献 2 ，那么对应每一 N 本征值还是都只有 1 种态，不过 N 只能取偶数，它对级数的贡献自然是
1+w^2+w^4+\ldots=(1-w^2)^{-1}
如果有 \alpha_{-1},\alpha_{-2} 两种产生算符，我们不用去统计对应每一 N 本征值它们有多少种组合方式，直接相乘就会自动给出正确的系数：
(1-w)^{-1}(1-w^2)^{-1}
在这里， \alpha_{-1},\alpha_{-2} 都有24种，还有 \alpha_{-3},\alpha_{-4},\ldots ，立刻就可以推广成
\operatorname{tr} w^{N}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-w^{n}\right)^{-24}\quad \quad
这里都是玻色子，之后会引入费米子，出现形如 b_{-1/2} 的产生算符，每次作用为 N 贡献 1/2 ，它对级数的贡献自然是 1+w^{1/2} ]
这个数可以写成以下形式
d_{n}=\frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{\operatorname{tr} w^{N}}{w^{n+1}} d w\quad \quad (2.144)
n 很大时，物理态的数目 d_n 可以通过鞍点近似估计。由于鞍点出现在 w=1 附近，可以使用近似
\operatorname{tr} w^{N}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-w^{n}\right)^{-24} \sim \exp \left(\frac{4 \pi^{2}}{1-w}\right)\quad \quad (2.145)
这是Dedekind eta函数
\eta(\tau)=e^{i \pi \tau / 12} \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-e^{2 \pi i n \tau}\right)\quad \quad (2.147)
的模变换公式
\eta(-1 / \tau)=(-i \tau)^{1 / 2} \eta(\tau)\quad \quad (2.146)
的一个近似，令 w=e^{2 \pi i \tau} 就能看到这一点。于是可以发现， n 很大时有
d_{n} \sim \text { const. } n^{-27 / 4} \exp (4 \pi \sqrt{n})\quad \quad (2.148)
指数上的因子可以被重写成 \exp \left(M / M_{0}\right) ，其中
M_{0}=(4 \pi \sqrt{\alpha^{\prime}})^{-1}\quad \quad (2.149)
称为Hagedorn温度。取决于一些超出目前考虑的细节，它可能是能达到的最高温度，也可能是一个相变的温度。
闭弦
对闭弦的情形，有两组模式（左行和右行），等级匹配条件必须纳入考虑。闭弦的谱很容易从开弦的谱推断出来，因为闭弦态是左行和右行模式的张量积，这两个模式都与开弦态具有同样的结构。闭弦谱中态的质量由
\alpha^{\prime} M^{2}=4(N-1)=4(\widetilde{N}-1)\quad \quad (2.150)
给出。闭弦的质量最小的前两个物理态是：
基态 |0 ; k\rangle 依旧是一个快子，这次
\alpha^{\prime} M^{2}=-4\quad \quad (2.151)
N=1 时，有一族总共 24^2=576 个态具有以下形式：
\left|\Omega^{i j}\right\rangle=\alpha_{-1}^{i} \widetilde{\alpha}_{-1}^{j}|0 ; k\rangle\quad \quad (2.152)
[由于等级匹配条件， \widetilde{N}=N=1 ，那么作用上 \alpha_{-1}^{i} ，就必须再作用上 \widetilde{\alpha}_{-1}^{j} ]
对应两个无质量向量的张量积，一个左行一个右行。 \left|\Omega^{i j}\right\rangle 的关于 i, \ j 对称且无迹的部分，按 SO(24) 变换，是一个无质量自旋2的粒子，引力子。迹 \delta_{i j}\left|\Omega^{i j}\right\rangle 是一个无质量标量，称为胀子。反对称部分 \left|\Omega^{i j}\right\rangle-\left|\Omega^{j i}\right\rangle 按 SO(24) 变换，是一个反对称二阶张量。这三类无质量态在超弦理论中都有对应，在那里它们扮演基础性的角色，后续章节将讨论。
参考
- ^定义时空光锥坐标时加入因子$\sqrt{2}$会比较方便，虽然我们定义世界面光锥坐标时没有加入。
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