宇宙是不连续的，那为什么微积分可以成立？
读过一些物理科普读物，知道存在普朗克尺度，学微积分的时候想到这个问题。 我数学上的微积分成立与否和你宇宙有什么关系?数学研究的是概念世界，而不是现实。
它的成立并不需要任何现实背书。
物理学家在研究的时候使用也是各种模型。
如果你问的连续型的数学模型为什么和现实接近，那只能说这个模型精度足够好，如果不接近，那也不是数学的责任，而是物理学家的责任了。 我认为，在普朗克尺度，连续的空间流形是不存在的。连续流形仅仅是数学家的一个想象，其逻辑自洽，但在我们的宇宙中并不存在。因此，在我们的宇宙中，微积分仅仅是一个近似的理论，就像连续的流体力学是分子动力学的一个近似。我认为我们宇宙的空间是一个离散的量子比特海。如何从离散的量子比特海，导出连续流行形的数学结构，是量子引力的一个还没有解决的大问题。
关于空间作为量子比特海的详细描述见
https://zhuanlan.zhihu.com/p/69249253我们的空间是一个很特殊的空间，它可以承载满足爱因斯坦方程和麦克斯韦方程形变。这就是我们常说的引力波和光波。如果量子比特海中的量子比特有一些特定的量子纠缠，其形变至少可以导致出光波。 数学理论只要自洽就是成立的。
但是不同的物理模型需要不同的数学。
如果物理世界对应的是离散的，那么相应地，积分就要换成求和，导数会换成差商。
这个答案指出了，求和在理论上可以看作一种积分。
宇宙是不连续的，那为什么微积分可以成立？不过，如果积分根本不重要，那么把求和纳入积分理论也用处不大。
我想补充一下，在具体的计算中，求和也可以通过积分来算，也就是欧拉-麦克劳林公式。
也就是说，即使物理模型只用到求和，积分也能在一定程度上发挥作用。
描述真实世界的，可能是微分方程，也可能是差分方程。
一般来说，简单的微分方程更容易得到公式解，但数值计算的情况下差分方程更容易交给计算机求数值解。
微分方程比较容易近似成差分方程，差分方程在一定条件下可以近似成微分方程。
不管描述真实世界的是哪种方程，你研究另一个都不亏。 目前来看时空是连续的，这和普朗克尺度没有任何关系。普朗克尺度只是说这个尺度下的物理必然需要一个量子引力理论来描述。
另外，微积分是一个数学概念，与现实世界无关。 首先是因为你读的科普读物没有正确解释“普朗克尺度”：这根本就不是说宇宙在空间上不连续。
在粒子物理与物理宇宙学等领域中，普朗克尺度指约1.22E28电子伏特的能量尺度，按质能等价原理相当于普朗克质量2.17645E-8千克，通过自然单位制之间的关联，可以得出普朗克尺度对应的长度和时间，但认定宇宙以此为单位分断是不被当前的观测事实支持的。2020年发表的一项研究给出了十分偶然的观测数据：
[*]ESPRESSO对准了一团180亿光年外的气体云，它后面有个明亮的光源。气体云中存在铁原子，能以特定的波长吸收背景光。从地球上的我们看来，如果时空是连续的，那么由气体云导致的背景光间隙应该和气体云就在我们旁边时一样狭窄。如果时空是离散的，那么在数十亿光年范围内传播的光将会扩散开来，改变间隙的宽度。
[*]结果是，ESPRESSO没有发现任何时空离散的迹象。
http://picx.zhimg.com/v2-a766b836135aae7c5b37f1d2ec67aa14_r.jpg?source=1940ef5c
https://arxiv.org/abs/2001.06016
[*]这意味着，如果时空离散，那我们需要超过180亿光年距离上的此类偶然目标才能用目前的技术观测到它的迹象。这些研究结果已经足以排除一些量子引力模型。
[*]在普朗克尺度下，引力的强度和其它基本力分庭抗礼，引力的不可重整化成为严峻问题，不能继续使用目前描述亚原子粒子的量子场论。现在人类还没有建立起完整的量子引力论来解决这些问题。
其次是因为微积分的成立根本不需要靠“宇宙连续”作为前提，而且你不觉得微积分里的各种间断点就已经动摇了你的前提么。
微积分并不要求“函数连续”，就连狄利克雷函数那样处处不连续的东西也只是黎曼不可积，可以使用勒贝格积分。
逻辑自洽的数学体系不需要靠“现实”充当证据，你在一个真正不连续的宇宙里仍然可以创立和使用描述连续变化的数学。同样地，能够创立连续的或离散的数学模型，都不代表宇宙本身的连续或离散。
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